Für die a) musst du nur aus jeweils zwei der gegebenen Vektoren das Skalarprodukt bilden & prüfen ob's 0 ist. Wenn's 0 ist sind die Vektoren orthogonal, wenn nicht, dann nicht. Das schaffst du!
Für b) würd' ich spontan statt dem Hinweis folgendes tun:
Sei x=(x1; ... ; xn) ein Vektor aus Rn und s=(sign(x1); ... ; sign(xn)) der Vektor aus +1 & -1, sodass die Vorzeichen mit denen aus x eintragsweise übereinstimmen (oder 0, wenn das entsprechende xi auch 0 ist).
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt:
\(| \langle x ; s \rangle |^2 \leq ||x|| \cdot ||s||\)
Links vom Ungleichheitszeichen wird jedes xi mit seinem Vorzeichen multipliziert - also der Betrag gebildet - und dann wird alles aufsummiert. Schließlich wird noch quadriert. Ohne das Quadrieren wär's also schon genau die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung.
Rechts ist \(||x|| = \sum_{i=1}^nx_i^2\) und \(||s||=\sum_{i=1}^n sign(x_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n 1 = n\). Die Ungleichung kommt zustande, da sign(xi)=0 ist, wenn xi=0 ist.
Wir haben also:
\((\sum_{i=1}^n |x_i|)^2 \leq ||s|| \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq n \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2\)
Zieht man auf beiden Seiten noch die Wurzel, so erhält man die zu zeigende Ungleichung.
