Erstmal gibt's ein bisschen was allgemeines, danach kümmern wir uns um deine Aufgaben:
Was eine Folge ist, ist vermutlich noch klar - nämlich einfach unendlich viele Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge sortiert sind. Man kann sich das auch als einen unendlich langen Vektor vorstellen.
So ist zB. die Folge definiert durch an = n einfach die Folge aller natürlichen Zahlen, denn a1=1, a2=2 usw.
Wenn diese Zahlen nun immer näher an einen bestimmten Wert kommen, so nennt man diesen Wert "Grenzwert" der Folge. Der ist zunächst so definiert:
\(G \ \ Grenzwert \ \ von \ \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \ \Leftrightarrow \ \forall \epsilon \in \mathbb{R} \ \exists N \in \mathbb{N} : |a_n-G|<\epsilon \ wenn \ n>N\)
Das bedeutet in Worten: Egal wie klein ich die Grenze Epsilon wähle - es gibt immer eine natürliche Zahl N, sodass die Folgenglieder ab dem N-ten Folgenglied näher als Epsilon am Grenzwert dran sind.
Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Die oben definierte Folge der natürlichen Zahlen zB. hat keinen Grenzwert. Die Folge definiert durch bn=1/n dagegen hat einen Grenzwert, nämlich 0. Damit eine Folge konvergiert, muss sie ihren Grenzwert nicht zwingend erreichen, sie kann das aber tun. Man könnte zB. eine Folge definieren durch
c1=5; c2=10; c3=3; cn=1 für alle Zahlen n>3
Diese Folge konvergiert gegen 1, denn sie ist ab dem vierten Folgenglied einfach konstant 1.
Konvergenz nachzuweisen kann schwierig sein, da gibt's allerhand Sätze, die hilfreich sein können. Vielleicht kannst du da auch mal in deinem Vorlesungs-Skript nachschauen, welche Werkzeuge ihr zur Verfügung habt.
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