Ich würde sagen der Gewinn ist die Differenz aus dem Ertrag und den Kosten.
Verkauft man x Fernseher, so nimmt man 18x ein (Marktpreis 18GE pro Stück). Die Kosten haben wir schon. Dann ergibt sich für den Gewinn:
G(x) = 18x - (0,5x²-0,5x+37,5) = -0,5x² +18,5x -37,5.
Für die Gewinn- und Verlustzone (was die Bedeutung dieser Begriffe angeht verlasse ich mich jetzt mal auf meine Intuition, hab' das so noch nie gehört) würde ich erstmal die Nullstellen der Gewinnfunktion G berechnen. Das geht hier per Mitternachtsformel:
\(x_{1 / 2} = \frac{-18,5 \pm \sqrt{18,5^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-37,5)}}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-18,5\pm 16,3}{-1} \\ \Rightarrow x_1 = 34,8 \ \ \ \ x_2 = 2,2\)
Bei diesen Produktionsmengen gleichen sich Kosten und Einnahmen genau aus. Unsere Gewinnfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, das bedeutet sie ist links und rechts von den Nullstellen negativ und zwischendrin positiv. Die Gewinnzone ist also ]2,2 ; 34,8[, die Verlustzone "der Rest", also \([0;2,2[ \cup ]34,8;\infty[\) (Linke Grenze 0, da negative Mengen keinen Sinn ergeben nehme ich mal an?). Für den maximalen Gewinn bestimmen wir den Scheitel unserer Gewinnparabel. Der liegt mittig zwischen den Nullstellen, hat also den x-Wert (2,2+34,8)/2=18,5. Bei dieser Menge ist der Gewinn maximal, wir erhalten den maximalen Gewinn durch einsetzen des x-Werts in die Gewinnfunktion: G(18,5)=133,6GE
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