Ahja auf geht's! :D
Zu a): "regulär" ist eine Matrix, wenn sie invertierbar ist. Sie ist invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist (gibt noch ein Paar mehr Kriterien, aber das ist das praktischste). Wir berechnen die Determinante dieser Matrix mit der Regel von Sarrus (oder "Jägerzaunregel"):
der(A) = 3*(-1)*alpha + 2*2*3 + 0*(-2)*(-4) -2*(-1)*(-4) -2*(-2)*alpha -3*3*0 =
-3alpha +12 +0 -8 +4alpha -0 = alpha +4
Man sieht: Ist alpha=-4, so ist det(A)=0 und die Matrix singulär. Für alle anderen alpha, also für alle \(\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{-4\}\), ist die Matrix regulär.
Zur b) : Ist eine Matrix regulär, so ist die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung bijektiv, d.h. jedes Gleichungssystem der Form Ax=b ist eindeutig (!) lösbar. Das Gleichungssystem Ax=0 hat immer den Nullvektor als Lösung, bei einer singulären Matrix kommen noch andere Lösungen hinzu. Für unsere reguläre Matrix ist die Lösung aber eindeutig, d.h. x=0 (Nullvektor) ist die einizge Lösung.
Zu c): Wie schon erwähnt ist für eine reguläre Matrix das System Ax=b stets eindeutig Lösbar. Daher müssen wir schonmal alpha=-4 wählen, damit die Matrix singulär ist. Dann versuchen wir einfach mal, das Gleichungssystem zu Lösen (beispielsweise mit dem Gauß-Algoritmus) und werden wohl irgendwo feststellen, dass manche Werte von b zu einem Widerspruch führen. Das gibt's wieder handschriftlich:
Man sieht also: Mit \(\alpha = -4 \ \& \ \beta \neq -2\) ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Aufgabe d) kommt gleich, auch als Bild ;)
