Ich mach's mal für die a) vor und geb' dir dann für den Rest ein bisschen Zeit zum selbst-probieren.
Zuerst der Induktionsanfang: n=1 - dann steht auf der linken Seite nur die Summe bestehend aus einem Summanden, 13=1. Rechts steht dann \((\frac{1 \cdot (1+1)}{2})^2 = 1\), die Gleichheit stimmt also.
Wir nehmen nun an (IV), dass die Gleichung für eine Zahl n stimmt. Dann betrachten wir die Gleichung für n+1:
\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \\ \sum_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3 =^* \\ (\frac{n \cdot (n+1)}{2}) ^2 + (n+1)^3 = \\ \frac{(n^2+n)^2}{4} + \frac{4\cdot (n+1)^3) }{4} = \\ \frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4} = \\ \frac{n^4 +6n^3+13n^2+12n+4}{4}\)
Zu prüfen ist ja, ob das jetzt gleich \((\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)}{2})^2\) ist. Man könnte natürlich in unserem ausmultiplizierten Term versuchen, auszuklammern - hier ist es aber leichter, in unserem Ziel-Term die Klammern aufzulösen. Dann findet man
\((\frac{(n+1)\cdot(n+1+1)}{2})^2 = \frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}\)
Die beiden Seiten sind also gleich. Damit sind wir fertig.