Probolobo

ein mal 169 ergibt 169, zum beispiel

2cos(0,25pi x) +1 = 0

cos(0,25pi x) = -0,5

-> 0,25pi x = 2pi /3+2pi*k    oder 0,25pi x = -2pi/3 +2pi*k    (wobei k jede beliebige ganze Zahl sein kann)

-> x = 8/3 +8k   oder x = -8/3 +8k  (k eine ganze Zahl)

So bekommst du auf jeden Fall alle Nullstellen deiner Funktion. Welche du davon willst, hängt von der genauen Angabe ab (oft sind nur die in einem bestimmten Intervall gefordert). 4/3 stimmt also nicht, 16/3 = -8/3 +8 stimmt aber.

Die Nullstelle deiner Stammfunktion? In der Form wie ich sie aufgeschrieben hatte hat sie nur die Nullstelle x=0, du kannst sie aber ja beliebig nach oben&unten verschieben und es bleibt trotzdem eine Stammfunktion. Es ist auch möglich, sie so zu verschieben, dass sie mehrere Nullstellen hat.

\(f(x) = 2cos(0,25\pi x) +1 \\ F(x) = 2 \cdot \frac{1}{0,25\pi} \cdot sin(0,25\pi x) +x = \frac{8}{\pi}\cdot sin(0,25\pi x) +x\)

Gern, freut mich wenn's hilft! :)

Dann mach ich's dir für c) nochmal vor - hast ja brav mitgearbeitet ;)

Der Induktionsanfang ist noch drin denke ich: Für n=0 ist

\(\sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=0}^0 x^k = x^0 = 1 \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{0+1}}{1-x} = \frac{1-x}{1-x} = 1\)

Also sind beide Seiten gleich - passt!

Für n=1 kann man's auch noch machen (muss nicht, aber: wenn man bei 'nem Induktionsbeweis nicht so recht sieht, wie's funktioniert, macht's immer Sinn, sich mal die Aussage für die ersten Paar Zahlen anzuschauen - irgendwann fällt einem dann schon was auf):

\(\sum_{k=0}^n x^k = \sum_{k=0}^1 x^k = x^0 +x^1 = 1+x \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \frac{1-x^{1+1}}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x\)

Wir sehen: Auch hier sind beide Seiten gleich, alles wie's sein sollte.

Jetzt machen wir uns an den Induktionsschritt und nehmen dafür an, dass die Aussage für eine Zahl n gilt. Wir betrachten die Gleichung wieder für n+1:

\(\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \sum_{k=0}^n x^k +x^{n+1} =^* \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1} = \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)x^{n+1}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1}+x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+2}}{1-x} = \\ \frac{1-x^{n+1+1}}{1-x} \)

Hier ist es direkt gelungen, die linke Seite mit n+1 statt n in die rechte Seite mit n+1 statt n umzuformen - damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen und die Aussage gezeigt.

Frag' gern nochmal nach, wenn du irgendeinen Schritt nicht verstanden hast. Das Prinzip der Induktion ist wichtig und sollte sorfgältig verstanden werden. Man sieht auch: Unser erster Schritt war eigentlich immer, den Ausgangs-Term so umzuformen, dass wir die Induktionsgleichung nutzen können. Das ist hier immer das Ziel.

Und zu guter Letzt: Aussage c) könnte man leichter zeigen, indem man einfach beide Seiten mit 1-x multipliziert: Dann steht rechts nur noch 1-xⁿ⁺¹ und links 1-x+x-x²+x²-...-xⁿ+xⁿ-xⁿ⁺¹ = 1-xⁿ⁺¹ - passt!

Ja mehr sogar - das heisst ja jetzt, dass dein Induktions-schritt funktioniert hat.

Insgesamt hast du ja jetzt raus: Gilt die Aussage für n, dann ist auch

\(\sum_{i=1}^{n+1}i^2 = \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}\)

Du hast also gezeigt: Wenn die Aussage für eine Zahl n gilt, dann gilt sie auch für die Folge-Zahl. (Diese Annahme nutzt du ganz am Anfang, wo du den letzten Summanden der Summe bis n+1 abspaltest und für die Summe bis n die vorgegebene Formel nutzt.)

Weil sie für 1 gilt (Induktionsanfang), gilt sie jetzt also auch für 2, und daher für 3 etc. - also für alle Zahlen, und die Aussage ist bewiesen.

Quasi einen, in dem du Binär-Zahlen addieren kannst etc.?

Sowas gibt's bereits:

Reicht auch jetzt. 

Finds sogar empfehlenswert, wenn man da etwas unsicher ist, möglichst wenige Schritte auf einmal zu machen, also so wie du's jetzt machst. Dann macht man weniger Leichtsinnsfehler.

Da gilt das gleiche wie in der 7. (?) Klasse: Bring's auf den gleichen Nenner und weiter geht's! 

Bei meiner Beispielrechnung passiert das in Zeile 4.