Wir brauchen noch eine Start-Anzahl von Ratten - da geb' ich uns mal 2 vor. Wir gehen außerdem davon aus, dass alle 21 Tage sämtliche weibliche Ratten neue Ratten gebären und dass die Ratten quasi immer paarweise zusammen bleiben, die Population sei also geschlechtertechnisch exakt 50-50 aufgeteilt. Da so dann zwei Ratten sechs neue "erzeugen", verdreifacht sich die Population nach jedem "Geburten-Durchgang".
Die Zeit t sei in Wochen angegeben.
Dann folgt für die Ratten folgender Anzahl-Term:
\(r(t) = 2\cdot 3^{\frac{t}{3}}\)
Dabei ist im Exponenten der Bruch, weil ja nur alle drei Wochen neue Ratten entstehen.
Von den lebenden Ratten müssen wir noch die sterbenden abziehen. Gestorben sind alle, die schon vor über 100 Wochen geboren sind. Das sind bis t=100 gar keine, ab t=100 sind die ersten r(t-100) dann fällig.
Für die Gesamtpopulation ab t=100 folgt also
\(r(t) = 2 \cdot 3^{\frac{t}{3}} - 2 \cdot 3^{\frac{t-100}{3}}\)
Nun wollen wir ja wissen, wie viele Ratten pro Woche hinzukommen. Dafür leiten wir unsere Funktion ab:
\(r'(t) = \frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t}{3}} -\frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t-100}{3}} \)
(Kleine Anmerkung hier: \((a^x)' = ({e^{ln(a)}}^x)' = (e^{ln(a)\cdot x})' = ln(a) \cdot e^{ln(a)x} = ln(a) \cdot a^x\) )
Diese Anzahl soll nun zu genügend Ratten führen, um mit 300.000km/s zu wachsen. In m/w (Meter pro Woche) sind das
300.000 * 1000 * 60 * 60 * 24 * 7 = 1,8144*1014 m/w. Da eine Ratte nur 0,2m lang ist, brauchen wir das Fünffache von dieser Zahl in einer Woche, also 9,072*1014.
Wir setzen unsere Ableitung also mit diesem Wert gleich und lösen die daraus resultierende Gleichung:
\(r'(t) = \frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t}{3}} -\frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t-100}{3}} = 9,072 \cdot 10^{14} \\ \frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t}{3}} -\frac{ \frac{2}{3}ln(3)}{3^{\frac{100}{3}}} \cdot 3^{\frac{t}{3}} = 9,072 \cdot 10^{14} \\ ( \frac{2}{3}ln(3) -\frac{ \frac{2}{3}ln(3)}{3^{\frac{100}{3}}}) \cdot 3^{\frac{t}{3}} = 9,072 \cdot 10^{14} \ \ |Taschenrechner \\ 0,7324 \cdot 3^{\frac{t}{3}} = 9,072 \cdot 10^{14} \ \ |:0,7324 \\ 3^{\frac{t}{3}} = 1,239 \cdot 10^{15} \ \ | log_3(.) \\ \frac{t}{3} = 31,634 \ \ | \cdot 3 \\ t = 94,9 \approx 95\)
Das ganze wird durch Runden nach Schritt 4 natürlich leicht ungenau, wir sehen aber: Mit den gegebenen Daten würde die Ratten-Kette auch bei nur 2 Start-Ratten schon nach 95 Wochen (weniger als 2 Jahre!) schneller als Lichtgeschwindigkeit wachsen. Ein beeindruckendes Ergebnis eigentlich, schöne Frage auch! :)
Edit: Ich merke gerade: Dadurch, dass der Wert unter 100 ist, gilt eigentlich sogar die Funktion ohne die "Sterbe-Korrektur" & die Kette würde sogar noch früher mit Lichtgeschwindigkeit wachsen:
\(r'(t) = \frac{2}{3}ln(3) \cdot 3^{\frac{t}{3}}= 9,072 \cdot 10^{14} \ \ :(\frac{2}{3}ln(3)) \\ 3^{\frac{t}{3}} = 1,239 \cdot 10^{15}\)
Ah, doch nicht, mit Runden kommen wir beim gleichen Zwischenschritt 'raus wie mit "Sterbe-Korrekturterm". Offenbar ist der Sterbe-Term so viel kleiner als die Zahl der nachwachsenden Ratten, dass er vernachlässigbar klein ist. Find' ich rein intuitiv angemessen. Erstaunlicherweise kann man über unser Ergebnis (95 Wochen) aber auch sagen: Die Kette wächst mit Lichtgeschwindigkeit noch bevor die erste Ratte stirbt!
Wir berechnen noch r(95), um zu wissen, wie viele Ratten zu dem Zeitpunkt leben.
\(r(95) = 2\cdot 3^{\frac{95}{3}} = 2,57 \cdot 10^{15}\) - also zweieinhalb Billarden Ratten!
