Probolobo

Danke! Tatsächlich ohne "+C", sonst klappt's nicht ;)

Das hängt von f ab würde ich sagen. Beispielsweise ist y=e^x eine Lösung für f=id oder y=x eine Lösung für f=0.

Falls du eigentlich meinst

f''(y)=f(y), so sind Vielfache der Exponentialfunktion mögliche Lösungen.

Hab ich da was vom Taschenrechner falsch abgeschrieben? Der Rechenweg müsste ja eigentlich passen, oder? :D

Ich glaub' ich seh's sogar schon: Deine rechte Seite ist ja "15,25+14,64+x" = 29,89+x, wo ich 28,89 stehen hab - vermutlich kann ich in der Tat nicht lesen :D

Zuerst berechne ich den Alkoholgehalt des ersten Lösungs-Gemisches:

\(\frac{25 \cdot 0,84 + 24 \cdot 0,65}{25+24} = 0,75\)

Die erste Lösung hat also 75% Alkohol. Nun kommen noch x Liter Wasser hinzu, wobei wir 61% Alkoholgehalt erzeugen wollen. Das liefert folgende Gleichung:

\(\frac{49 \cdot 0,75 + 0 \cdot x}{49+x} = 0,61 \ \ | \cdot (49+x) \\ 36,75 = 0,61 \cdot (49+x) \\ 36,75 = 28,89 + 0,61x \ \|-28,89 \\ 7,86 = 0,61x \ \ |:0,61 \\ 12,9 = x\)

Es müssen 12,9l Wasser zugefügt werden.

Der Kern von 7, betrachtet als lineare Abbildung, also als 1x1-Matrix, ist ker(7)={0}.

..der Vollständigkeit halber :D

In meiner Formel für c) kam die Konstante w gar nicht mehr vor. Die hat auch für die Nullstellen und eigentlich allgemein für die Funktion keine besondere Bedeutung, deswegen ist's auch so komisch, dass die in der Wertetabelle vorkommt.

An dem k kannst du so lange "herumspielen", bis du aus dem Bereich, in dem du Nullstellen suchst, "rausrutscht". Ich mach's mal für die linke Grenze des Bereichs vor:

Es geht ja nach wie vor um den Bereich [-w ; 2w], also etwa [-2,62 ; 5,24].

Die Nullstellen-Formel war

\(x_k = \frac{-\pi}{4} + k \cdot \pi\) 

für ganze Zahlen k. Das erste wähle ich quasi beliebig, zB. k=0:

\(x_0 = \frac{-\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{-\pi}{4} \approx -0,785\)   - das ist im Bereich enthalten, passt!

Nun geht's zunächst nach links weiter mit k=-1:

\(x_{-1} = \frac{-\pi}{4} + (-1) \cdot \pi = \frac{-5}{4}\pi \approx -3,927\)

Das ist schon nicht mehr im Bereich enthalten und daher für die c) schon irrelevant, die kleinste Nullstelle ist also x₀. Wäre x_-1 noch im Bereich enthalten, würde ich mit k=-2 weitermachen, und dann mit k=-3 usw, bis irgendwann eine Zahl herauskommt, die nicht im Bereich ist.

Das gleiche passiert jetzt noch nach oben: 

Mit k=1, k=2 etc. schaust du nach, welche Werte die Formel liefert. Sobald das Ergebnis nicht mehr im Bereich liegt, bist du fertig & alle Zahlen, die du vor der letzten gefunden hast, sind Nullstellen von g, die im gegebenen Bereich liegen.

Wäre das Ergebnis mit dem ersten, relativ frei gewählten k nicht im Bereich, würde man so lange weitersuchen, bis man im gegebenen Bereich 'rauskommt.

Kurz&Knapp: Was für ganze Zahlen: Fang mit irgendeiner Zahl an, sodass das Ergebnis der Formel im vorgegebenen Bereich liegt. Verändere dann k schrittweise nach oben & nach unten, bis du aus dem Bereich "rauskommst". So erhältst du alle Nullstellen deiner Funktion.

Und natürlich: Ja, klar, frag' gern nochmal nach!

Die Frage hier wird wahrscheinlich bald gesperrt (passiert immer nach ein paar Tagen, liegt nicht an dir oder mir), stell' dann gern deine ergänzenden Fragen als neue Frage.

Naja die x-Wert-Berechnung passt schon^^

Der Wert -0,708 ist in der Tat der nächste, also g(-2/4w) dann - und so geht's weiter bis zu g(2w)

An dieser Stelle ein kleiner Disclaimer - scheinbar bin ich langsam zu blöd für meinen eigenen Taschenrechner :D

Wir setzen für die Wertetabelle nur Werte für x in die Funktion ein. Mit -w geht's los, dafür nehmen wir den gerundeten Wert der Konstante, also -2,62 (bei den 2,66 hab ich mich wohl auch vertippt, sorry!)

Es ist g(-w) = g(-2,62) = sin(-2,62)+cos(-2,62) = -1,365

Ich beton' hier mal: Das ist nicht g(-1), denn wir haben nicht -1 für x eingesetzt, sondern -2,62=-w !

Somit steht in der ersten Spalte der Wertetabelle der x-Wert -w und der y-Wert -1,365.

Dann geht's weiter mit dem zweiten x-Wert, für den wir einen Schritt nach rechts auf der x-Achse gehen: -w + w/4 = -3/4w = -3/4 * 2,62 = -1,965

Wir berechnen g(-3/4w) = g(-1,965) = sin(-1,965)+cos(-1,965) = -1,307

Es ergib sich die nächste Spalte der Wertetabelle mit dem x-Wert -3/4w und dem y-Wert -1,307

Das sieht als Tabelle also so aus:

Übrigens sind sinh und cosh hier völlig fehl am Platz, in der Funktion g kommen schließlich nur sin und cos vor. Auch sonst ist das, was du aufgeschrieben hast, etwas kritisch - wir wollen für die Wertetabelle eigentlich nur "g(x) = sin(x) + cos(x)" aus der Angabe abschreiben, nur dass statt x 'ne Zahl drinsteht. Und für die Zahlen nehmen wir halt Vielfache von w.

Die Buchstaben stehen meist für Variablen - diese sind nötig, um gewisse Sachverhalte in Gleichungen umformen zu können, die dann mit Hilfe von algebraischen (oder irgendwelchen anderen) Methoden gelöst werden können. Wir betrachten ein einfaches Beispiel dazu:

Bei einer Jahrmarktbude kostet ein Los 1,50€. Jonas hat 9€ von seinem Kirchweihgeld übrig. Wie viele Lose kann er kaufen?

-> Wir nennen die gesuchte Größe - die Anzahl der Lose - erstmal x. Er muss für x Lose das x-fache von 1,50€ bezahlen - insgesamt soll da 9€ 'rauskommen. Also ist

x * 1,50€ = 9€

Teilen wir beide Seiten durch 1,50€, erhalten wir

x = 6

-> Jonas kann 6 Lose kaufen.

Das Konzept der Variablen gab's laut Wiki schon etwa 2000 Jahre vor Christus, also vor etwa 4000 Jahren. Es wird fortgeführt, weil es gut ist. Wieso sollte man auch freiwillig auf die ganzen Errungenschaften, die die Mathematik gebracht hat, verzichten wollen?