Bei einer aus dem englischen irgendwie übersetzten Frage wäre es evtl. ratsam, auch den englischen Originaltext zusätzlich darunter zu posten. Dann kann man auch so Übersetzungs-Probleme wie "Was ist das Problem, wenn.. " statt "Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass..." aus dem Weg räumen.
Jetzt aber zur Aufgabe - zunächst sei das Wort "Binomialverteilung" in den Raum geworfen, um die geht's hier nämlich.
Es handelt sich um eine Bernoullikette, denn die Wahrscheinlichkeit ist konstant (p=0,8), die Anzahl der Durchführungen ebenfalls (n=10) und die Reihenfolge der Treffer ist zunächst egal.
Wir suchen also:
P(genau drei Treffer) = P(X=3) = B(10; 0,8; 3) = \(\binom{10}{3} \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^7 \approx 0,00079 = 0,079 \%\).
Die Wahrscheinlichkeit ist sehr klein, weil er ja mit 80% Wahrscheinlichkeit trifft. Ich schließ' hier gleich die letzte gefragte Wahrscheinlichkeit an:
P(genau 6 Treffer) = B(10; 0,8; 6) = \(\binom{10}{6} \cdot 0,8^6 \cdot 0,2^4 \approx 0,088 = 8,8\%\).
Wir sehen: Hier ist die Wahrscheinlichkeit schon deutlich größer.
Nun zur letzten: Er trifft nur beim zweiten, dritten und siebten Schuss. Hier hat er auch drei Treffer, aber die Anordnung der Treffer ist fest vorgegeben. Die Wahrscheinlichkeit muss also kleiner als P(drei Treffer)=0,079% sein.
Es ändert sich am Rechenweg nur wenig: Es bleiben drei Treffer, daher bleibt der Faktor 0,23. Es bleiben folglich auch 7 Fehlschüsse, daher bleibt auch der Faktor 0,27. Nur am ersten Faktor ändert sich etwas: Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Anordnungs-Möglichkeiten der Treffer an, wenn die Reihenfolge egal ist. Jetzt gibt es aber nur genau eine Anordnung, die erwünscht ist. Wir ersetzen also den Binomialkoeffizienten durch " 1 ":
P(Treffer bei 2,3 und 7) = \(1 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2^7 \approx 6,55 \cdot 10^{-6} = 0,000655\%\)
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